Японский физик Такеши Морита показал, что хаотические квантовые системы невозможно охладить до абсолютного нуля, причем ограничение напрямую связано с ляпуновской экспонентой системы. Для этого ученый «перевернул» неравенство, доказанное Малдаценой, Шенкером и Стэнфордом для квантовых систем с большим числом степеней свободы, а затем проверил предположение на «игрушечной» системе. Статья опубликована в Physical Review Letters.
Если вы бросите шарик в ямку, он непременно скатится в самую низкую ее точку — при этом неважно, где шарик находился изначально и как быстро двигался. Поэтому можно сказать, что поведение шарика не зависит от начальных условий. Прямой противоположностью такой системы являются система с динамическим хаосом, в которой даже очень маленькое изменение начальных условий приводит к непредсказуемым последствиям. Более строго «непредсказуемость» можно определить с помощью траекторий в фазовом пространстве, то есть объединенном пространстве координат и импульсов: если расстояние между любыми близко расположенными траекториями со временем уменьшается, то система стабильна, если экспоненциально растет — хаотична. Показатель такой экспоненты называют ляпуновской экспонентой. Простой пример хаотичной системы — это система гравитирующих трех тел или бильярд Синая. Более сложный пример — атмосфера Земли. Именно из-за ее хаотичности невозможно предсказать погоду на большой период времени.
Обобщением классического хаоса на квантовые системы является квантовый хаос. В этом случае определить «непредсказуемость» по скорости разбегания траекторий невозможно (потому что нельзя выделить какую-то однозначную траекторию), поэтому физики оценивают квантовый хаос с помощью специального коррелятора (дальше мы будем его называть просто коррелятором). Эта аналогия основана на следующем утверждении. Если рассмотреть одномерную квантовую систему, подставить в коррелятор оператор импульса частицы в начальный момент времени и оператор координаты частицы в конечный момент времени, а затем перейти к классическому пределу ℏ → 0, то квантовое определение воспроизведет классическое. Разумеется, это утверждение выполняется не без оговорок — например, нужно потребовать, чтобы волновая функция частицы была локализована. Время, в течение которого выполняется это условие, называется временем Эренфеста или временем перемешивания (scrambling time). На более длинных временных отрезках экспоненциальный рост коррелятора, характерный для классических хаотических систем, не наблюдается. Как бы то ни было, квантовый хаос является единственным обобщением классического хаоса на истинно квантовые системы, а потому играет важную роль в современной теоретической физике.
В основном, интерес к квантовому хаосу обусловлен следующими двумя открытиями. Во-первых, в 2008 году Ясухиро Секино (Yasuhiro Sekino) и Леонард Сасскинд (Leonard Susskind) показали, что коррелятор на фоне вечной черной дыры в двумерном пространстве анти-де Ситтера растет экспоненциально, а его ляпуновская экспонента пропорциональна температуре Хокинга и обратно пропорциональна постоянной Планка. После этого ученые предположили, что черные дыры являются самыми хаотичными квантовыми объектами в природе, то есть их ляпуновская экспонента максимальна. Во-вторых, в 2015 году Хуан Мальдацена (Juan Maldacena), Стивен Шенкер (Stephen Shenker) и Дуглас Стэнфорд (Douglas Stanford) доказали, что гипотеза Сасскинда и Секино действительно выполняется для квантовых систем с большим числом степеней свободы. Следовательно, система с максимальной ляпуновской экспонентой должна голографически описывать черную дыру. Вскоре такая система была найдена (SYK), и в настоящее время ее связь с черными дырами активно изучается.
Однако японский физик Такеши Морита (Takeshi Morita) посмотрел на результат Малдацены, Шенкера и Стэнфорда с другой стороны — грубо говоря, «перевернул» доказанное ими неравенство. С одной стороны, ляпуновская экспонента квантовой системы с температурой T ограничена сверху: λ ≤ 2πT/ℏ (постоянная Болцмана здесь безразмерна и равна одному). С другой стороны, в квантовой системе с ляпуновской экспонентой λ температура ограничена снизу: T ≥ ℏλ/2π. Следовательно, охладить хаотическую систему до нулевой температуры принципиально невозможно. В классическом пределе ℏ → 0 это ограничение, очевидно, исчезает. Грубо говоря, состояние с нулевой температурой разрушается из-за квантовых флуктуаций. Ранее подобных ограничений на температуру квантовой системы известно не было.
Чтобы проверить эту гипотезу, Морита рассмотрел «игрушечный» пример хаотической системы — движение частиц в рассеивающем квадратичном потенциале. Классические фазовые траектории такой системы имеют гиперболическую особую точку в нуле (так называемое седло), с которой и связана хаотичность системы — если бросить частицу около этой точки, предсказать ее траекторию будет довольно сложно. Затем физик ввел гамильтониан системы перешел к квантовому описанию ее поведения. В этом случае частицы могут протуннелировать сквозь потенциал, причем вероятность выбора «классической» траектории (то есть отражения) экспоненциально падает вместе с энергией частицы. Поэтому такую систему можно интерпретировать как квантовую систему с двумя уровнями энергии, в которой основным «уровнем» выступают классические траектории, а возбужденным — квантовые. Более того, такой системе можно сопоставить отличную от нуля температуру, определяющую заселенность ее уровней. Такая температура будет прямо пропорциональна ляпуновской экспоненте.
Грубо говоря, такая интерпретация имеет следующий физический смысл. Разделим пространство системы пополам и рассмотрим только левую часть пространства. С одной стороны, если частица с энергией E из этого пространства туннелирует через потенциал, то энергия полупространства увеличивается на E. С другой стороны, если через потенциал туннелирует частица с энергией E из правого полупространства, энергия левого полупространства также увеличивается на E. Следовательно, левое полупространство аналогично двухуровневой системе с температурой T = ℏλ/2π, и охладить систему ниже этой температуры в принципе невозможно.
Еще боле четко эта аналогия проявляется, если рассмотреть не одну частицу, а фермионную жидкость, движущуюся на фоне рассеивающего квадратичного потенциала. Аналогично случаю частицы можно показать, что такая система термализуется, то есть переходит в состояние с температурой T = ℏλ/2π. Более того, туннелирование частиц сквозь потенциал можно воспроизвести с помощью акустического излучения Хокинга, что еще больше усиливает связь системы с квантовым хаосом.
В принципе, работа Такеши Морита может иметь не только теоретический, но и практический результат — например, открытый эффект может ограничить минимальную достижимую температуру. Тем не менее, связь этого эффекта с реальными (а не «игрушечными») системами пока не очевидна.
На прошлой неделе физики из США и Канады разработали систему кубитов, в которой можно проверить корректность квантового перемешивания информации (quantum scrambling). Такие процессы напрямую связаны с квантовым хаосом, поэтому авторы утверждают, что с помощью их системы можно исследовать черные дыры. Впрочем, ляпуновская экспонента в их случае не была максимальной, поэтому такое соответствие пока находится под вопросом.
Иллюстрация к статье:
Обсуждение